例说函数的应用
南京外国语学校 陈光立
同学们进入高中后，数学学习中第一个重要的内容就是“函数概念与基本初等函数I”．函数是通过建立数学模型来刻画与研究世界的典范，也是学习数学和研究数学的范例．它为以后的数学学习提供了范式．高中数学课程标准把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线，这条线将延续到大学的高等数学．
函数是中学数学的核心概念之一，高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数．函数学习对高中数学学习具有奠基的地位．通过函数的学习，理解函数模型在刻画研究自然界变量间关系的作用．进而学会用变量的眼光、函数的观点去观察世界、分析问题和解决问题．
丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法，使学生学会学习，为终身学习和终身发展打下良好的基础，是高中数学新课程追求的基本理念．学生的数学学习方式不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还必须倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式，力求发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．为了发展学生的数学应用意识，新教材强调数学概念形成的背景，重视介绍数学知识发生发展的来龙去脉；注重帮助学生学会运用数学语言去描述周围世界出现的数学现象；注重帮助学生体验数学在解决实际问题中的作用，拓展学生的视野，从而体会数学的应用价值．
函数是发展学生数学应用意识最好的载体．下面，我们就从一节数学课的片段说起．
上课伊始，老师（以下记为T）提出问题：昨天数学测验的题目有点难了，不及格的同学多了点，我想把成绩处理一下，你们有什么好主意？有同学（以下记为S）说：开方乘10．
T：这样处理的话，36分就及格，是不是太“便宜”了？我想让50分的及格，怎么办？
S2（脱口而出）：每人加10分．
（引来一阵笑声，因为那样会出现超过100分的情况．）
T：请大家设计一个方案，使得全班任意一个同学的成绩，在这个方案下对应着唯一的一个新成绩，并使得50分变成60分，100分的还是100分，怎么办？
S3：我们可以建立函数模型．
T：抓住了“任一”到“唯一”的对应关系，这是函数的本质特征．很好！今天我们就一起来学习一个专题：“函数的应用”．
在刚才的问题中，该建立怎样的函数模型呢？也就是说，要确定怎样的函数y＝f(x)，使得它满足f (50)＝60，f (100)＝100．现在，我们就从最熟悉的、简单的函数模型开始．
Ｓ4：可以建立正比例函数模型．
Ｓ5：不行！因为正比例函数f (x)＝kx中只有一个待定系数k，它不能同时满足f (50)＝60和f (100)＝100两个条件．例如，如果满足f (50)＝60，可解得f (x)＝x，显然它不满足f (100)＝100．
Ｓ6：我们可以建立一次函数的数学模型．设f (x)＝kx＋b，再用待定系数法求解．
T：请大家动手一起来求这个一次函数的表达式．
Ｓ：这个一次函数为f (x)＝x＋20，0＜x≤100，且x∈N*．
T：在这个函数模型中，50对应60，60 对应68，70对应76，80对应84，90对应92，100还是100．可以看出，在这个“对应关系”中，虽然每个人增加的分数不同，但是任意两个同学新成绩的差△y与他们原来成绩的差△x之比是一个常数，它恰好是x的系数k，以后我们还会学习k的几何意义．同时，我们知道这个函数的图像是在同一条直线上的一些点列．
解决这个问题还有其它的函数模型吗？难道只有一次函数吗？
Ｓ7：可以建立二次函数模型，设f (x)＝ax2＋bx+c，再求出a，b，c．
Ｓ8：不行！因为只有两个条件无法确定a，b，c三个待定系数的值．
T：能否使二次函数模型中只含有两个待定系数呢？a，b，c中哪个字母是不能少的？
Ｓ9：当然是a不能等于0，否则它就不是二次函数了．
Ｓ10：我们可以设这个二次函数为f (x)＝ax2＋bx或者f (x)＝ax2 +c．
T：很好！具体的结果我已算过了，它们分别是 f (x)＝－x2＋x和f (x)＝x2＋．其中的x满足0＜x≤100，且x∈N*．
大家再想一下，还有别的方案吗？能否对一开始那个“开方乘10”的方案改造一下？
Ｓ11：可以设新的函数模型为 f (x)＝a+b，再由f (50)＝60和f (100)＝100确定a，b．
T：这个想法很好！可以解得这个函数是 f (x)＝－，0＜x≤100，且x∈N*．
至此，我们一共找到了解决这个问题的四个不同的函数模型．当然一定还有更多其他的函数模型，例如f (x)＝ax3＋bx2或者f (x)＝ax3＋cx等等．从理论上讲，只要含有两个待定系数的函数模型，我们就可以通过f (50)＝60，f (100)＝100来确定．
现在，请大家看一下我用几何画板画出的上面几个函数的图像．它们有的是线段，有的是曲线；有的是“凸向上”，有的是“凸向下”．试从图像的变化趋势上分析一下，哪个函数更能体现“照顾弱势群体”？说说你的依据．
Ｓ：f (x)＝－x2＋x 和 f (x)＝－ 比较理想，因为它们的图像是“凸向上”，其变化趋势是先快后慢，也就是说低分段同学增加的分数较多，高分段同学增加的分数较少，这不就体现 “照顾弱势群体”了吗？
T：大家分析得很好．从函数图像上看到，同样是单调增函数，但它们变化的“速度”不一样，有的先快后慢．有的先慢后快，以后学了微积分就清楚其中的“奥秘”了．
我再提一个问题，我们发现在区间[50，100]上，这些函数的图像彼此“靠得很近”，那么你们认为实际操作上，采用哪个函数模型比较好？
S：采用一次函数模型f (x)＝ x＋20比较好．因为这四个函数的图像彼此“靠得很近”，说明对于同一个自变量x，它们所对应的函数值y相差不大，我们当然选择既形式简单又便于操作的一次函数！
T：我也同意采用一次函数模型f (x)＝ x＋20．当然，如果运用计算机或计算器来操作，那么其它几个模型的运算也不复杂，同样可采用．
通过刚才的讨论，我们师生合作，找到了多个函数模型，顺利地解决“成绩处理”这个实际问题．大家对函数的概念、性质及其应用一定会有新的认识，能进一步感受函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，加深理解函数模型在刻画研究自然界变量间关系的作用．进而领悟用变量的眼光、函数的观点去观察世界、分析问题和解决问题的重要思想．
对于类似上面这样的实际问题，许多同学也曾尝试、探索运用各种不同的方法去解决．解决问题的关键是善于将实际问题转化为有关的数学问题，建立一个合适的数学模型，并求解这个数学问题，从而解决实际问题．
高中新课程提出了三维目标：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观．这节课中，与最后得到四个函数模型的结果相比，同学们经历的探究过程更为重要．经过比较充分的讨论，大家经历了函数建模的过程，经历了尝试、猜想、验证、比较的过程，加深了对函数概念及其应用的理解，领悟形数结合、分类讨论、转化化归等数学思想，感受探究、拓展后的成功和喜悦．尽管有的知识在中学阶段并不作要求，例如“凸向上”和“凸向下”的问题在微积分里还要研究，但这样的“直觉感知、操作确认”是必要的．适度的拓展也许不能直接“应试”，可是研究、探索新问题的意识、思路和方法更为重要！
时代的发展，让人们越来越认识到数学与数学教育的价值．20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一．数学正在从幕后走向台前，在许多方面直接为社会创造价值．即使是被认为非常抽象的所谓“纯粹数学”也体现了重要的应用价值．例如，人们对于欧几里德的第五公设（平行公设）讨论了两千年，无数个数学家试图证明这一公设却没有成功，最终导致了非欧几何（罗巴切夫斯基几何和黎曼几何）的诞生，后来黎曼几何被用于爱因斯坦的相对论．实际上，广义相对论是由于爱因斯坦找到了黎曼几何这个数学工具才得以完成的, 而后者早在前者需要它之前的六七十年就提出来了．在宇航时代，如果考虑到星际空间的大范围，则非欧几何往往可以更好地反映空间的特征．
在很长一段时间内，人们对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视，使得学生对数学的兴趣日趋减少，认为数学就是做题，学数学没用，也就是考试、升学有用．实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野．
我们知道，学习数学的最终目的是为了培养数学能力，提高数学素养，使所有学生都具有一双能用数学视角观察世界的眼睛，一个能用数学思维思考问题的头脑．为此，每个同学都要成为课堂学习的主人，成为积极的参与者、探索者、合作者．我们要提高“学数学，用数学”的意识，努力做一个善于将实际问题转化为数学问题并加以解决的有心人．让我们一起在数学学习和应用的征途上坚定地、勇敢地迈出一步又一步！
